Математизация науки и ее возможности - реферат

Математизация науки и ее возможности - реферат

Реферат по дисциплине “философия”

Аспирант: Рыбалов А.Н.

Омский муниципальный институт

Введение

Предметом данной работы является неувязка отношения арифметики и других наук, а непосредственно способов и способностей арифметики в приложении к остальным наукам.

Актуальность трудности связана с многолетним развитием и проникновением математических способов в разные области людской деятельности, которое с Математизация науки и ее возможности - реферат течением времени только расширяется и углубляется. В текущее время мы лицезреем бурный рост числа математических приложений, связанный сначала с развитием компьютерных технологий, возникновением глобальной сети Internet. Те математические идеи, которые ранее не покидали области академической науки, на данный момент являются обычными в обиходе программистов, прикладников, экономистов.

Энтузиазм создателя к дилемме связан Математизация науки и ее возможности - реферат с проф его деятельностью в области арифметики: хоть и не в прикладной арифметике, но в достаточно близкой к ней – теории трудности вычислительных алгоритмов, а поэтому ему любопытно выяснить способности арифметики в зании беспристрастной действительности, приложении к другим наукам.

Реферат состоит из 3-х частей. В первой коротко описывается история многолетнего Математизация науки и ее возможности - реферат проникания арифметики в другие науки, и параллельно некие вехи в развитии самой арифметики. Во 2-ой части описываются некие главные способы математизации, их сильные и слабенькие стороны. В третьей дискуссируются пределы математизации науки, задачи, связанные с этим.

История математизации науки

Математика – королева наук.

К.Ф. Гаусс

Математика является одной из Математизация науки и ее возможности - реферат древних наук. Само слово “математика” имеет древнегреческие корешки и значит “наука” либо “познание”. На данный момент предмет исследования арифметики так громаден и разнообразен, что достаточно тяжело дать определение арифметики, как науки, занимающейся тем-то и тем-то. Хотя и узенькое, но достаточно обычное определение дается в [1]: “Математика – наука о количественных Математизация науки и ее возможности - реферат отношениях и пространственных формах реального мира”. Понятно также шутливое определение собственной науки, которое дают арифметики: “Математика – это то, чем я занимаюсь”.

Практически с самого зарождения арифметики, она была неразрывно связана с практической деятельностью человека. Более того, конкретно из этой ежедневной практики и появились 1-ые математические абстракции – натуральные числа Математизация науки и ее возможности - реферат и простые деяния с ними: сложение, вычитание и умножение. Это вышло еще в доисторические времена.

С возникновением первых стран (Старого Египта, Вавилона, Китая) появляется потребности в развитии и углублении математических познаний. Развитие земледелия, архитектуры дает толчок к появлению геометрии. Математические познания еще являлись только эмпирическими фактами, о необходимости их подтверждения речи Математизация науки и ее возможности - реферат не появлялось. Многие формулы представлялись в виде некоторых рецептов, следуя которым можно получить итог. Подтверждением выступала практика и опыт: если какой-нибудь факт подтверждался фактически, хотя бы приблеженно, но довольно точно для практических нужд, он числился верным. Потому некие факты, открытые египтянами, оказались правильными только приближенно Математизация науки и ее возможности - реферат. К примеру, они считали, что отношение длины окружности к поперечнику равно 3,16.

Древнегреческие философы и арифметики сильно много сделали для развития арифметики. Это и практика серьезных доказательств, введенная Фалесом, и примечательные аксиомы Пифагора, и способы Архимеда вычисления объемов разных тел, и аксиоматическая система геометрии Евклида, и система буквенных обозначений Диофанта.

Пифагор пробовал Математизация науки и ее возможности - реферат применить арифметику для нужд собственной философской системы, согласно которой в базе мироздания – числа. Узнать мир – это означает узнать управляющие им количественные соотношения. Ему приписывается модель галлактики, в какой планетки движутся по сферическим орбитам, подчиняющимся неким количественным отношениям – так именуемая гармония сфер. Также Пифагором и его школой были Математизация науки и ее возможности - реферат выявлены достойные внимания числовые закономерности в музыке (высота тона колебания струны находится в зависимости от ее длины). Его учение дает 1-ый пример целенаправленного внедрения арифметики в разъяснении явлений природы, общества и мироздания в целом. Понятно выражение, приписываемое Пифагору: “Есть все число”. Местами его учение носит магический нрав, дальний от Математизация науки и ее возможности - реферат реального положения вещей. К примеру, обожествление неких чисел: 1 – мама богов, всеобщее первоначало (видимо аналогия с началом натурального ряда), 2 – принцип противоположности в природе (потому что противоположности всегда встречаются парами), 3 – природа как триединство первоначала и его противоречивых сторон (3=1+2), и т.д. Увлекательны (хотя и полностью не надлежащие реальности) его рассуждения о связи Математизация науки и ее возможности - реферат неких арифметических параметров чисел и публичными явлениями. К примеру, пифагорейцы выделяют так именуемые совершенные числа: 6, 28, и т.д. – числа, равные сумме собственных собственных (т.е. не считая самого числа) делителей: 6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14. Эти числа, по Пифагору, отражают совершенство. Пары чисел, сумма собственных делителей 1-го из котрых равна другому и напротив Математизация науки и ее возможности - реферат, как к примеру, 284 и 220, именуются дружескими и отражают явление дружбы в обществе. Пифагорейцы про верную дружбу гласили: “Они дружны, как 220 и 284”. Невзирая на эти доверчивые представления, такие числа до сего времени представляют энтузиазм для теории чисел – области арифметики, занимающейся арифметическими качествами целых чисел. К примеру, до сего времени не понятно, нескончаемо Математизация науки и ее возможности - реферат ли огромное количество совершенных чисел, либо есть ли нечетные совершенные числа?

Следующий период, прямо до 16 в. характеризуется достаточно неспешным процессом проникания арифметики в другие науки. Решаются задачки, вызванные торговой деятельностью, как в Западной Европе, астрономией и мореплаванием (тригонометрия), как на Арабском Востоке и в Индии.

Бурное развитие Математизация науки и ее возможности - реферат как самой арифметики, так и ее приложений наблюдается в Новое время. Переход к новым капиталистическим отношениям, ослабление воздействия церкви на философию и науку развязывают исследователям руки, делают их мысли смелее. С этого момента “природа – не храм, а мастерская” и человек – не послушливая кукла в руках бога, а сам владелец собственной судьбы Математизация науки и ее возможности - реферат и исследователь мира вокруг нас.

Одним из первых, кто ощутил веяние нового времени и начал заного подходить к науке, был Г.Галилей. Всем со школьной скамьи известны его опыты по исследованию падения тел, которыми он опроверг тысячелетние заблуждения Аристотеля и его последователей. Для описания результатов, Галилей в первый раз применил Математизация науки и ее возможности - реферат математический аппарат: начала дифференциального исчисления. Понятно выражение Галилея: “книжка природы написана языком арифметики: буковкы в ней – это треугольники, окружности, полосы”.

И.Кеплер приблизительно в то же время, анализируя скурпулезные наблюдения Т.Браге за движением Марса, приходит к выводу, что планетки движутся по эллиптическим орбитам вокруг Солнца Математизация науки и ее возможности - реферат. При всем этом он употребляет теорию конических сечений, открытых более тыщи годов назад древнегреческим математиком Аполлонием Пергским. Это соответствующий пример того, как математическая теория, не получившая популярности при жизни создателя и практически позабытая, находит применение в принципиальных вопросах науки спустя много лет.

Р.Декарт известен в арифметике благодаря способу координат – типичному Математизация науки и ее возможности - реферат мостику меж алгеброй и геометрией. Эта плодотворная мысль на самом деле стала главным толчком для следующего развития арифметики. В философии Декарт известен как основоположник рационализма – пробы математизировать все научное познание тех пор. Он употребляет способы арифметики и логики в физике, физиологии, этике, философии. Математика взята за идеал ввиду того Математизация науки и ее возможности - реферат, что он считал ее прототипом стройности и истинности. Строго доказав то либо другое утверждение, математик вполне уверяет других в его истинности и высвобождает тем свою науку от споров и колебаний. Если имеется некоторая математическая задачка, то ее решение вполне закрывает вопрос. Философия же, к примеру, либо мораль Математизация науки и ее возможности - реферат имеют много таких вопросов, которые в протяжении всей истории вызывали бурные споры и к окончательному воззрению относительно их философы так и не пришли. А почему бы не попробывать их решить, используя математические способы, которые в собственной области удачно срабатывают? Ведь в справедливости доказанных геометрических теорем никто не колеблется, а правильное решение Математизация науки и ее возможности - реферат какой-нибудь задачки не вызывает споров.Свои размышления Декарт выложил в работе “Рассуждение о способе, чтоб правильно направлять собственный разум и искать правду в науках”.

Приблизительно в то же время два других французских математика, Б. Паскаль и П. Ферма, закладывают базы теории вероятности – принципиальной области для математических приложений Математизация науки и ее возможности - реферат.

Истинной революцией в арифметике и ее приложениях стало открытие дифференциального и интегрального исчисления И.Ньютоном и Г.Лейбницем. Это стало началом широкого проникания математических способов в физику, механику и астрономию. Основная мысль этого способа – мысль предела переменной величины – берет свое начало еще в трудах Архимеда, Демокрита и других древнегреческих ученых Математизация науки и ее возможности - реферат. Но всю его мощь оценили только после введения комфортной системы обозначений и способа координат – чего у старых греков не было. Почему же этот способ стал таким плодотворным конкретно для физических приложений? Дело в том, что соответствующей особенностью практически всех физических процессов является наличие непрерывного движения, конфигурации во времени неких Математизация науки и ее возможности - реферат числовых характеристик, а пределы (а с ними и интегралы и производные) как раз и есть важный инструмент для исследования непрерывных функций.

Другой наградой Ньютона, на самом деле сделавшей физику самостоятельной наукой, стала мысль аксиоматизации механики, предложенная в труде “Математические начала натуральной философии”. Там Ньютон, воодушевленный “Началами геометрии” Евклида Математизация науки и ее возможности - реферат, выдвигает несколько базовых законов механического движения, узнаваемых на данный момент как три закона Ньютона. Делая упор на эти “теоремы”, он, используя математические способы и дедукцию, обрисовывает отменно и количественно бессчетные физические явления.

Лейбницу мы также должны комфортной системой обозначений для главных предельных операций. Развивая символьные обозначения далее, Лейбниц грезит о некотором Математизация науки и ее возможности - реферат универсальном исчислении, используя которое можно отыскивать правду, механически применяя некие правила. “Тогда философы закончат спорить, а начнут вычислять”. Его мечта в неком смысле осуществится сначала XX века, когда арифметики формализуют логику, создав исчисление предикатов.

XVIII век характеризуется конечной математизацией физики. Наикрупнейшие арифметики тех пор: Л.Эйлер Математизация науки и ее возможности - реферат, Ж.-Л.Лагранж, П.С. Лаплас развивают анализ бесконечно-малых, делая его главным орудием исследования в естествознании. Полный фуррор был достигнут с его помощью в небесной механике – описаны движения планет, Луны в рамках закона тяготения Ньютона. Лаплас в собственном серьезном сочинении “Трактат о небесной механике” назначил тезис, узнаваемый как принцип детерминизма: “Зная Математизация науки и ее возможности - реферат положения всех частиц во вселенной и их скорости на этот момент, мы можем найти состояние вселенной в хоть какой момент в дальнейшем”. Математическое обоснование ему дается уже в последующем столетии в аксиоме Коши-Ковалевской о существовании и единственности решения обычного дифференциального уравнения.

XIX век ознаменовался не только лишь Математизация науки и ее возможности - реферат соц революциями, да и революциями в четких науках. Новые идеи, родившиеся в абстрактных недрах арифметики, такие как понятие группы, неевклидовая геометрия отыскали и до сего времени находят применение в физике, кристаллографии, химии. Новые явления в физике – электричество и магнетизм оказываются отлично описываемыми “старенькыми” способами дифференциального и интегрального исчисления с некими Математизация науки и ее возможности - реферат дополнениями из векторного анализа. Казалось бы все замечательно: математический дух витал над всеми областями познания, которые тогда числились науками, а сама математика была образцом строгости и непротиворечивости, к которому должны стремиться другие науки. Но в конце XIX века в трудах Г.Кантора возникает нарушитель спокойствия – теория множеств. Фактически Математизация науки и ее возможности - реферат по-началу ничего такового небезопасного в ней не было – Кантор попробовал математически обрисовать понятие огромного количества – случайного набора каких-то математических: натуральных чисел, точек на прямой, вещественно-значных функций и т.д. Параллельно шли работы по так именуемым основанием арифметики: ученые пробовали на аксиоматической базе выстроить математический Математизация науки и ее возможности - реферат анализ, теорию реальных чисел, геометрию (перечень аксиом Евклида оказался неполным, полную аксиоматику геометрии отдал Гильберт в 1899 г.). Разъяснение этому процессу можно дать последующее: математический аппарат (в особенности способ бесконечно-малых) в протяжении нескольких веков употреблялся в почти всех приложениях и зарекомендовал себя как действенное орудие естествознания; но разъяснения почему все Математизация науки и ее возможности - реферат используемые способы правильны исходя из убеждений логической строгости, не было – ну согласуются с наблюдениями и хорошо; но это не означает, что мы застрахованы от “сбоев” в дальнейшем. Для подведения фундамента под эти способы, арифметики решили использовать испытанный аксиоматический способ. В связи с этим было создано исчисление предикатов – система логических аксиом Математизация науки и ее возможности - реферат и правил вывода из их новых утверждений. С его помощью, делая упор на теоремы хоть какой области арифметики, средством практически механического внедрения правил вывода можно получить всякую аксиому данной области. На этом пути удалось отыскать теоремы многих областей арифметики и свести вопрос о непротиворечивости математического анализа к Математизация науки и ее возможности - реферат непротиворечивости математики. Теория множеств же является в неком смысле фундаментом арифметики: все объекты, с которыми работают арифметики являются огромными количествами. Но вот уже на первых шагах развития этой теории начали появляться противоречия, что угрожало фундаменту всей арифметики. К счастью сначала XX века удалось придумать аксиоматизацию теорию множеств, свободную (на сегодня Математизация науки и ее возможности - реферат) от противоречий.

Развитие арифметики и ее приложений в XX веке было так бурным, что его тяжело обрисовать довольно тщательно. Выделим только некие главные моменты. Физические приложения продолжали развиваться, не ограничиваясь уже одним дифференциальным и интегральным исчислениями: в ядерной физике, к примеру, начали обширно использовать многомерную геометрию и теорию групп Математизация науки и ее возможности - реферат; в теории относительности примечательные внедрения отыскала неевклидова геометрия. Теория вероятностей может быть даже опередила математический анализ по числу приложений: способы математической статистики употребляют в большом числе наук, начиная с физики и заканчивая психологией и лингвистикой. Развитие математической логики, вызванное программкой Гильберта обоснования арифметики, привело к возникновению компов, которые изменили миропонимание современного Математизация науки и ее возможности - реферат человека. Практика ставит новые задачки, которые уже не решаются испытанными в физике способами анализа непрерывных функций. Эти дискретные задачки из экономики, генетики, криптографии и др. характеризуются трудозатратным перебором большущего числа вариантов, который не под силу даже компьютерам.

Главные способы математизации

Тот, кто не знает арифметики, не Математизация науки и ее возможности - реферат может выяснить никакой другой науки и даже не может найти собственного невежества.

Р.Бэкон

В чем все-таки заключается мощь и умопомрачительная плодотворность внедрения арифметики в разных науках? Чтоб ответить на этот вопрос, проанализируем некие способы математизации.

Важный способ – это математическое моделирование. Он заключается в том, что исследователь строит математическую модель рассматриваемой Математизация науки и ее возможности - реферат области, другими словами выделяет значительные для него характеристики и количественные свойства явления, выделяет значительные дела меж ними и пробует отыскать какой-нибудь схожий объект в арифметике.

К примеру, изучая численности популяций сардин и рыб-хищников в Средиземном море, В.Вольтерра выделил последующие количественные свойства:

численность сардин (обозначив Математизация науки и ее возможности - реферат их за x)

численность хищников (соответственно y)

дальше он выявил принципиальные для него дела меж ними:

в среднем все особи схожи

популяция сардин возрастает, если нет встреч с хищником

скорость роста ее численности пропорциональна самой численности (потому что любая особь может произвести потомство)

число сардин, гибнущих от хищников пропорционально числу встреч с ними, а Математизация науки и ее возможности - реферат это число в среднем пропорционально xy

популяция хищников миниатюризируется при отсутствии сардин (погибают от голода)

скорость этой убыли пропорциональна численности хищников

скорость прироста числа хищников пропорциональна числу их встреч с кормом-сардинами, другими словами величине xy.

Являясь большим спецом в теории дифференциальных уравнений, Вольтерра рассматривает x и y Математизация науки и ее возможности - реферат как фунции от времени и стремительно находит нужный объект в арифметике – систему обычных дифференциальных уравнений

где A, B, C, D – некие положительные коэффициенты, зависящие от определенных природных критерий. Изучая потом эту систему способами, разработанными другими математиками за длительное время до него, Вольтерра получает описание и разъяснение многих явлений, увиденных за Математизация науки и ее возможности - реферат долгую историю рыболовства в Италии, таких к примеру, как странноватые колебания величины улова сардин (а означает и их общей численности).

Этот пример указывает еще одну идею моделирования – некое упрощение, отбрасывание излишней, не подходящей инфы. Тут, это допущения одинаковости особей, равновероятности их встреч, равновозможности создавать потомство. Мы как-будто бы абстрагируемся от определенной Математизация науки и ее возможности - реферат сардины и выделяем только нужные для нас ее характеристики. Естественно в конечном итоге, мы получаем несколько облегченную картину явления, но в этом случае нам это и требовалось. Важным моментом будет то, чтоб при упрощении не упустить нужные нам черты, не огрубить модель так, чтоб она не стала Математизация науки и ее возможности - реферат довольно отлично для нас обрисовывать явление. С другой стороны, модель не должна получиться очень сложной, не поддающейся математическому анализу. Правда, с возникновением массивных ЭВМ, способности анализа приметно расширились, но некие задачки, к примеру долгосрочное прогнозирование погоды, до сего времени являются труднодоступными.

Необычным образом оказывается, что одна и та же Математизация науки и ее возможности - реферат математическая модель может обрисовывать много различных явлений в разных областях. К примеру, одно дифференциальное уравнение может обрисовывать и рост численности популяции, и хим распад, и цепную ядерную реакцию, и распростронение инфы в социальной группе. В чем причина таковой всеприминимости математических моделей? Ответа на этот вопрос математика не дает. Вот Математизация науки и ее возможности - реферат что гласит академик В.И.Арнольд в лекции [2]:

Почему модель сечения конуса обрисовывает движение планет? Магия. Загадка. Ответа на этот вопрос нет. Мы верим в силу рациональной науки. Ньютон лицезрел в этом подтверждение существования Бога:”Такое изящнейшее соединение Солнца, планет и комет не могло произойти по другому, как по намерению и Математизация науки и ее возможности - реферат по власти могущественного и премудрого существа…Сей управляет всем не как душа мира, как властитель Вселенной, и по господству собственному должен именоваться Господь Бог Вседержитель”.

Но можно дать и последующее некое “обоснование” этому факту. Когда исследователь изучает какое-то явление и строит скажем количественную модель, он стремится к простоте Математизация науки и ее возможности - реферат модели и выделяет только маленькое число характеристик и отношений меж ними. В конечном итоге, по множеству явлений получаем модели, связанные скажем с определенными дифференциальными уравнениями. Но в теории дифференциальных уравнений эти уравнения классифицированы в достоточно маленькое число типов, которые различаются по свойствам и способам их решения Математизация науки и ее возможности - реферат. В конечном итоге и выходит, что дифференциальные уравнения (а означает и модели) для огромного числа явлений попадают в один класс, в каком они фактически неразличимы.

Кроме моделей, связанных с дифференциальными уравнениями, еще есть большущее число других моделей, в том числе и не количественных (другими словами не связанных с какими-либо числовыми Математизация науки и ее возможности - реферат параметрами). К примеру, в математической логике и теории алгоритмов существует модель, описывающая работу человека, решающего какую-нибудь делему по строго описанной программке (рецепту). Эта модель именуется машиной Тьюринга и выдумана в 1936 году английским математиком Аланом Тьюрингом в связи с неувязкой формализации понятия метода. Она оказалась очень полезной для разработки Математизация науки и ее возможности - реферат первых ЭВМ, и с того времени является принятой математической моделью современных компов.

Тьюринг исходил из последующих упрощений:

в процессе работы, человек (компьютер) имеет дело с наборами знаков (словами) из конечного огромного количества (алфавита)

сначала работы на неком носителе инфы, к примеру в тетради (ленте) записан вход

в конце работы, на ленте Математизация науки и ее возможности - реферат пишется выход

лента разбита на ячейки, любая или пуста, или там есть один знак алфавита

лента потенциально нескончаема и одномерна (другими словами любая ячейка имеет 2-ух соседей: правого и левого)

в процессе работы человек может за один шаг записывать знак в текущую ячейку (если она занята, то за ранее Математизация науки и ее возможности - реферат стереть содержимое) и читать его, также смещаться на право либо на лево

все вышеперечисленные деяния он делает в серьезном согласовании с программкой, которая по текущему обозреваемому символу и текущему состоянию человека (их конечное число) гласит, какой знак записать в ячейку, куда двинуться (на право либо на лево) и как поменять состояние

человек останавливает Математизация науки и ее возможности - реферат вычисления, когда попадает в некое выделенное состояние (заключительное)

Откуда такая модель могла появиться? К примеру из анализа работы математика, который что-то решает в тетради: на первых страничках записано условие задачки – слово в довольно большенном (но конечном!) алфавите; дальше он согласно неким правилам собственной науки (программке Математизация науки и ее возможности - реферат!) и собственному внутреннему состоянию (этих состояний много, но естественно), листая тетрадь то вперед, то вспять, записывая и стирая знаки, равномерно решает задачку. Попав в заключительное состояние (осознав, что ответ найден), он останавливается. Есть и возможность того, что он никогда не остановится – модель это не воспрещает.

Умопомрачительно то, что эта обычная модель Математизация науки и ее возможности - реферат, отлично описывающая работу современных компов, родилась ранее, чем появились 1-ые ЭВМ.

Из каких шагов состоит построение математической модели? Это зависит, вообщем говоря, от области, в какой разрабатывается эта модель. К примеру, в экономике этапы можно выделить такие [3]:

Определение цели, другими словами чего желают достигнуть, решая намеченную цель.

Определение характеристик Математизация науки и ее возможности - реферат модели, другими словами заблаговременно узнаваемых фиксированных причин, на значение которых исследователь не оказывает влияние.

Формирование управляющих переменных, изменяя значение которых можно приближаться к поставленной цели. Значения управляющих переменных являются решениями задачки.

Определение области допустимых решений, другими словами тех ограничений, которым должны удовлетворять управляющие переменные.

Выявление неведомых причин, другими словами Математизация науки и ее возможности - реферат величин, которые могут изменяться случайным либо неопределенным образом.

Выражение цели через управляющие переменные, характеристики и неведомые причины, другими словами формирование мотивированной функции, именуемой также аспектом оптимальности задачки.

Это связано со специфичностью области: в экономике важны конкретно такие числовые модели, потому что предметная область там в главном состоит из понятий, которые Математизация науки и ее возможности - реферат имеют количественный нрав. Такие примеры, как машина Тьюринга под эту схему не подходят.

Итак, главные черты способа математического моделирования заключатся в последующем:

абстракция, некое упрощение предметной области, выделение только существенных для исследователя черт рассматриваемого явления

выявление подходящих характеристик либо черт процесса, которые и составляют предмет предстоящего исследования

выявление существенных отношений меж Математизация науки и ее возможности - реферат этими параметрами

поиск подходящего математического объекта, который будет обрисовывать все исследуемые характеристики и дела меж ними

применение математического аппарата к этому объекту для описания начального явления

Выражаясь математическим языком, можно сказать, что происходит отображение предметной области, реального явления в математические огромного количества (понятия, структуры). При этом это отображение обладает свойством Математизация науки и ее возможности - реферат сохранять некие дела меж реальными объектами, в том смысле, что при изменении в действительности происходит схожее изменение и в математическом ее виде.

Не следует мыслить, что математика всегда располагает нужным аппаратом для исследования математической модели. Часто приходилось открывать новые понятия и способы в арифметике либо разрабатывать старенькые, чтоб делать Математизация науки и ее возможности - реферат это. К примеру, Ньютон открыл главные понятия дифференциального исчисления, чтоб как раз использовать их в механике. И вообщем большая часть областей современной арифметики имеют такое практическое происхождение.

Очень увлекателен также последующий вопрос: почему же математические модели, сам математический язык так полезен для исследования многих явлений в разных науках Математизация науки и ее возможности - реферат? Я считаю, что это частично связано с непревзойденной строгостью и точностью математического языка, частично с его эффективностью и сжатостью. Доктор А.К.Гуц в [4] иллюстрировал эту эффективность последующим различием гуманитарного мышления от математического. Когда гуманитарий решает какую-нибудь делему, на пути к ее решению он должен пройти очень огромное Математизация науки и ее возможности - реферат число промежных шагов, на каждом из которых делаются, анализируются и проверяются какие-то логические выводы. Это можно изобразить на диаграмме:



Потому что таких промежных шагов может быть много, путь к решению может занять сильно много времени. Сейчас разглядим решение задачки математиком. Движение его к цели на самом деле тоже Математизация науки и ее возможности - реферат заключается в серии промежных шагов, но он может использовать аксиомы, формулы, факты установленные и испытанные другими математиками, которые заключают внутри себя сотки, тыщи простых логических шагов, которые уже нет необходимости проделывать. Его путь можно изобразить таковой диаграммой:

тут “сгустки” – это факты, испытанные другими. Потому за тот же просвет времени Математизация науки и ее возможности - реферат математик в состоянии сделать еще больше.

Адекватность арифметики при отражении действительности в собственных моделях связана с тем, что сама математика, ее понятия и структуры являются не чем другим, как абстракцией самой беспристрастной действительности. Когда мы создаем какое-то огромное количество математических понятий, абстрагируясь от реальных объектов, мы неявно переносим в Математизация науки и ее возможности - реферат понятия и связи меж этими объектами, которые потом появляются при построении математических моделей. К примеру, при выделении понятия “натуральное число” как абстракции параметров реальных объектов быть элементом некого набора однородных предметов, которые можно переложить один за одним из одной кучки в другую, мы переносим в абстракцию и некие характеристики натуральных чисел Математизация науки и ее возможности - реферат, такие как упорядоченность чисел. При “моделировании” потом скажем коллектива людей, исследуем численность коллектива x (натуральное число) и обнаруживаем, что при добавлении 1-го индивидума, коллектив возрастает, но возрастает при всем этом на 1 и x – мы неявно перенесли упорядоченность реального объекта “коллектив” на его математическую модель “натуральнозначная переменная”. Выдающийся Математизация науки и ее возможности - реферат физик, лауреат Нобелевской премии, Поль Дирак гласил: “При построении физической теории следует не доверять всем физическим концепциям. … Следует доверять математической схеме, даже если она, на 1-ый взор, не связана с физикой”.

Можно раздельно выделить способ математизации, который неявно является частью математического моделирования: формализация. Он заключается в том, что все Математизация науки и ее возможности - реферат изучаемые объекты действительности и дела меж ними заменяются наборами знаков и отношений меж ними в неком искусственном языке. Так, в модели машины Тьюринга все объекты – слова в каком-то алфавите, и рассматриваются правила работы с этими словами. Ну и вообщем, система комфортных обозначений – принципиальная часть хоть какой области арифметики. Этот искусственный Математизация науки и ее возможности - реферат язык должен быть по способности малогабаритным, недвусмысленным и обычным. Это отличает его от естественных человечьих языков, для которых свойственна некая неоднозначность и неопределенность семантики и синтаксиса. Недаром до сего времени не сотворено удовлетворительных автоматических систем перевода с 1-го языка на другой. Потому важной частью формализации является верный Математизация науки и ее возможности - реферат перевод предметной области на формальный язык. Как пишет Герман Вейль в [6]: “Мощь науки, как свидетельствует развитие современной техники, опирается на комбинацию априорных знаковых конструкций и периодического опыта в форме планируемых и воспроизводимых тестов и соответственных измерений.” В самой арифметике процесс формализации начался еще с древнегреческого математика Диофанта, который Математизация науки и ее возможности - реферат предложил некую еще несовершенную систему алгебраических обозначений. Обычные нам обозначения главных математических объектов вводились равномерно, начиная с Виета, Декарта, Лейбница и заканчивая Эйлером, Лагранжем, Коши. Этот процесс длится до сего времени, потому что каждый денек появляются новые и новые математические понятия и объекты.

В конце XIX – начале XX века Математизация науки и ее возможности - реферат процесс формализации арифметики достигнул собственной кульминации в трудах Фреге, Рассела, Гильберта и др. Это связано с так именуемой программкой Гильберта обоснования арифметики. В чем она состоит? Хотя арифметику и математические рассуждения принято считать логически серьезными и идеальными, работающие арифметики никогда не проводят подтверждения собственных теорем на формальном уровне, сопоставимом к Математизация науки и ее возможности - реферат примеру с алгоритмическими языками программирования типа C либо PASCAL, другими словами так, чтоб корректность подтверждения мог бы проверить компьютер. Потому Гильберт и его коллеги решили выстроить таковой формальный язык с надлежащими правилами, в каком можно было выразить и обосновать все математические аксиомы. В базу этого языка была положена логика, основными Математизация науки и ее возможности - реферат объектами стали огромного количества, которые обозначались знаками в конечном алфавите. Отталкиваясь от неких простых утверждений – аксиом, примменяя некие строго очерченные правила вывода, можно было бы получить все утверждения арифметики. Если б эта программка удалась, то всех математиков можно было бы поменять компьютерами, которые бы чисто механически шаг Математизация науки и ее возможности - реферат за шагом получали бы математические аксиомы.

До того как обрисовать предпосылки краха программки Гильберта, выделим очередной способ математизации, который плотно сплетен с этой программкой. Идет речь об аксиоматизации. Она заключается в том, что в некой области познания из всех настоящих утверждений выделяется набор неких простых утверждений либо аксиом, из которых Математизация науки и ее возможности - реферат средством логического вывода можно в принципе получить хоть какое утверждение этой области. Естественно, лучше чтоб этот набор был довольно малогабаритным (хотя бы конечным) и обычным. Традиционным примером аксиоматически построенной теории является геометрия Евклида (хотя у него перечень аксиом был неполный). Конституция страны и различные кодексы в неком смысле являются перечнями Математизация науки и ее возможности - реферат аксиом в юриспруденции. Правила дорожного движения есть ни что другое, как теоремы теории правильного уличного движения. Со времен Евклида аксиоматический способ построения теории стал образцом. Аксиоматизировать пробовали и такие неточные науки, как этика (Спиноза). Пожалуй более удачным примером аксиоматизации является построение механики Ньютоном на базе выделенных им 3 законов Математизация науки и ее возможности - реферат. Естественно, не следует считать, что этих 3 аксиом довольно для построения механики – к этому списку нужно добавить все теоремы трехмерной геометрии, теории реальных чисел и, если уж быть совсем серьезным, то и в самой логике можно выделить тоже некие теоремы. Предстоящее развитие физики добавляло еще теоремы: законы термодинамики, электромагнетизма, постулаты Эйнштейна в Математизация науки и ее возможности - реферат теории относительности и законы квантовой механики. Но принцип оставался тот же – добавляются по способности простые и независящие от прошлых факты, из которых можно разъяснить как можно больше новых явлений. Длилась и длится аксиоматизация в самой арифметике: при помощи теоремам в алгебре определяются важные понятия группы, поля, кольца; аксиоматика Математизация науки и ее возможности - реферат Колмогорова сделала теорию вероятностей математической наукой.

Вернемся сейчас к программке Гильберта. Она, не считая формализации и выделения главных понятий, включала в себя аксиоматизацию всей арифметики на базе аксиом математики и теории множеств. В трудах многих математиков был найден подходящий перечень аксиом и правил вывода (одно из которых - правило modus Математизация науки и ее возможности - реферат ponens, описанное еще Аристотелем), из которого выводились все известные факты арифметики. Оставались неясными два вопроса:

Будет ли этот перечень аксиом непротиворечивым? Другими словами не существует ли такового утверждения, что из аксиом можно вывести его само и его отрицание? Понятно, что в данном случае можно будет вывести хоть Математизация науки и ее возможности - реферат какое утверждение – это разрушит авторитет арифметики как образца строгости, сделает глупой и ненадобной данную систему аксиом.

Будет ли этот система аксиом полной? Другими словами неважно какая ли математическая правда может быть получена из данных аксиом при помощи поочередных логических выводов? Это значит, что хоть какое утверждение мы можем или обосновать, или опровергнуть Математизация науки и ее возможности - реферат (обосновать его отрицание).

Арифметики и логики, воодушевленные первыми фуррорами программки Гильберта, принялись находить подтверждение полноты и непротиворечивости математики – промежного шага на пути ко всей арифметике. Было достигнуто несколько обнадеживающих результатов. Казалось, цель была близка. Но в 1931 году грянул гром, который направил программку Гильберта в руины: австрийский Математизация науки и ее возможности - реферат логик Курт Гёдель обосновал так именуемую аксиому о неполноте, которая утверждала, что если система аксиом математики непротиворечива, то существует такое утверждение, что ни оно само, ни его отрицание не доказуемы. Это значит, что условия непротиворечивости и полноты математики и арифметики в целом несовместны. Более того, она остается неполной, если к Математизация науки и ее возможности - реферат списку добавить дополнительные теоремы (хоть какое конечное число), другими словами не существует конечного набора аксиом для математики. Это был шок. Один математик в связи с этим произнес: “Бог существует, так как математика непротиворечива. Бес существует, так как мы это не можем обосновать”. Аксиома Гёделя показала пределы способностей аксиоматического способа в Математизация науки и ее возможности - реферат самой арифметике.

Необходимо все-же сказать, что это был крах некого эталона, который по сути не оказал огромного воздействия на практические приложения арифметики. Системы аксиом математики и теории множеств до сего времени являются основанием математического познания. Теоремы в разных областях познания не утратили собственной ценности.

Пределы и Математизация науки и ее возможности - реферат задачи математизации

Это был математик.

Но почему, Холмс?

Это тривиально, Ватсон.

Во-1-х, он ответил

полностью верно.

Во-2-х, то, что он произнес, полностью

никчемно для нас.

Из извесного смешного рассказа.

Трудности, с которыми сталкиваются исследователи, применяющие математические способы в других науках, можно поделить на два типа. 1-ые – связанные с неуввязками в самой арифметике, другими Математизация науки и ее возможности - реферат словами когда, к примеру, математическая модель явления построена, а ее исследование затруднено из-за того, что подходящие способы еще не разработаны, или их разработка – нерешенная пока неувязка (в арифметике сильно много собственных “внутренних” заморочек). 2-ой тип связан с самими областями познания, которые подвергаются математизации: или трудно Математизация науки и ее возможности - реферат выстроить математическую модель, или построенная и изученная модель некорректно обрисовывает изучаемое явление.

Разглядим подробнее препядствия первого типа. Не стоит считать, что сами арифметики так всесильны в собственной науке. Ну и сама математика разрослась до таких больших размеров, что издавна уже нет таких универсальных гениев, схожих Ньютону, Эйлеру, Гильберту либо Математизация науки и ее возможности - реферат Пуанкаре, которые работали практически во всех областях арифметики собственного времени. Нынешняя картина математических исследовательских работ припоминает больше большой муравейник, где каждый математик разрабатывает свою неширокую область, и, иногда не знает, что происходит в примыкающей. Но, невзирая на такую разобщенность, остаются нерешенные трудности, принципиальные для многих областей арифметики, и, поэтому известные всем Математизация науки и ее возможности - реферат математикам. Может быть, что для их решения нужны познания этих многих областей, потому они так трудны для современных исследователей. Но, может быть, они подобно известной аксиоме Ферма, представляют чисто внутриматематический энтузиазм, и их нерешаемость никак не сказывается на приложениях? К огорчению, это не так. К примеру, популярная открытая неувязка Математизация науки и ее возможности - реферат P=NP теснейшим образом связана с криптографией, генетикой, теорией управления, а решение дифференциальных уравнений Навье-Стокса выполнило бы прорыв в аэродинамике, гидродинамике. Многие современные математические модели (к примеру, метеорологического прогноза) очень сложны и не поддаются анализу даже с помощью компов: хоть и теория исследования таких уравнений разработана издавна, но Математизация науки и ее возможности - реферат из-за их громоздкости использовать методы теории человеку не под силу. Потому тут используют компы. Но иногда и компьютерам нужно большущее время для проверки теоретических критерий. Отсюда потребность в разработке стремительных алгоритмов. Как правило, разработка таких алгоритмов связана с решением неких тяжелых, иногда чисто математических заморочек.

В связи с Математизация науки и ее возможности - реферат этим любопытно следить, каким образом арифметики все-же решают сложные задачи. Анри Пуанкаре в [5] пишет: “Изучая труды величавых и даже рядовых математиков, нереально не увидеть и не различить две обратные тенденции …. Одни сначала заняты логикой; читая их работы, охото мыслить, что они шли вперед только шаг за шагом …. Другие Математизация науки и ее возможности - реферат вверяют себя интуиции и подобно смелым конникам авангарда сходу делают резвые завоевания, вобщем, время от времени не совершенно надежные.” Таким макаром, часто фуррор в решении большой трудности достигается не оковём поочередных логических шагов, а неким интуитивно-наглядным, до конца не обоснованным рассмотрением, оставляя на будущее серьезное логическое его обоснование Математизация науки и ее возможности - реферат. Увлекательны также мысли многих математиков относительно эстетических суждений в собственной работе. Герман Вейль гласил, что в собственных исследовательских работах, “если было надо выбирать меж правдой и красотой, я выбирал красоту”. Может быть, эстетические чувства, как чувства сокрытой правды либо гармонии, помогают математикам при решении сложных задач. Это, можно Математизация науки и ее возможности - реферат сказать – одно из средств борьбы со всё усложняющейся математической реальностью.

Трудности второго типа, связанные с трудностью построения подходящих математических моделей можно проиллюстрировать на примере задачки компьютерного перевода с 1-го естественного языка на другой. Сначала 1950-х, с возникновением первых ЭВМ и с преувеличением их реальных способностей, исследователи были убеждены, что создание довольно Математизация науки и ее возможности - реферат добротных программ-переводчиков может быть, нужно только запрограммировать главные правила языка и соответстующий словарь. Но, время текло, а выполнить этот проект не удавалось. К примеру, на тестировании одной из таких программ, машине предлагалось поначалу перевести предложение с российского на британский, а потом назад. Было введено предложение Математизация науки и ее возможности - реферат: “Дух силен, а плоть немощна”, на выходе получили: “Вино не плохое, но мясо протухло”. Оказалось, что людские языки очень сложны для формализации: смысл неких слов находится в зависимости от контекста, правила часто разноплановы, этих правил сильно много и они сложны. До сего времени нет удовлетворительных программ-переводчиков.

Трудность внедрения математических способов в Математизация науки и ее возможности - реферат этом случае, как мне кажется, связана с природой самой исследуемой области. А конкретно тем, что главные математические абстракции произошли от таких объектов действительности, как место, время, природные объекты, а не от каких-либо явлений социальной реальности (к которым относится и язык). Потому они полезны и довольно легко обрисовывают Математизация науки и ее возможности - реферат физические, хим и био процессы, но надлежащие модели, к примеру, языка получаются очень сложными. Можно еще добавить последующее замечание: правила языка, в отличие от законов природы достаточно нередко (безпрерывно) изменяются, потому математика, “отделившаяся” от природы с помощью абстракции 1000 годов назад, продолжает сохранять некие законы природы внутри себя, а если Математизация науки и ее возможности - реферат б это “отделение” вышло от языка, который с того времени поменялся существенно, многие полезные связи разрушились бы, либо усложнились.

Другие препядствия второго типа связаны с тем, что построенная в согласовании с обыкновенной методологией математическая модель может некорректно обрисовывать процесс либо вообщем не иметь смысла в исследуемой области Математизация науки и ее возможности - реферат. Согласно [7] такие модели содержат неконструктивные элементы, что может привести к противоречиям в теории и рассогласованию с опытом даже многообещающих математических аппаратов. В современной физике теория создается не так, как это было в традиционной физике, когда исходя из некой картины мира (к примеру, независимость вещественных объектов от места и времени у Математизация науки и ее возможности - реферат Ньютона), строилась соответственная математическая догадка. На данный момент же, согласно [7], поначалу формируется математический аппарат, а потом уже адекватная теоретическая схема, интерпретирующая этот аппарат. В отличие от онтологических принципов традиционной физики, которые помогали создавать либо выбирать математические модели исследования, квантово-релятивистская физика сместила акценты для такового выбора в сторону Математизация науки и ее возможности - реферат гносеологических принципов (принцип соответствия, простоты, неопределенности и др.). То что поначалу вводится некая математическая модель, а потом интерпретируется, делает делему с экспериментальным доказательством теории: чтоб доказать математическую догадку опытом, недостаточно просто ассоциировать следствия из уравнений с опытнейшеми данными, нужно всякий раз эксплицировать гипотетичные модели, которые были введены на стадии Математизация науки и ее возможности - реферат математической экстраполяции, отделяя их от уравнений, доказывать эти модели конструктивно, вновь сверять с сделанным математическим формализмом и только после чего инспектировать следствия из уравнений опытом. Длинноватая серия математических гипотез порождает опасность скопления в теории неконструктивных частей и утраты эмпирического смысла величин, фигурирующих в уравнениях. Потому в современной физике на определенном шаге развития Математизация науки и ее возможности - реферат теории становятся необходимыми промежные интерпретации, обеспечивающие операциональный контроль за создаваемой теоретической конструкцией. В системе таких промежных интерпретаций как раз и создается конструктивнообоснованная теоретическая схема, обеспечивающая адекватную семантику аппарата и его связь с опытом.

В [7] приводится пример такового скопления. Квантовая электродинамика началась с построения формализма, позволяющего обрисовать "микроструктуру" электрических Математизация науки и ее возможности - реферат взаимодействий. Создание обозначенного формализма достаточно ясно расчленяется на четыре шага. Сначала был введен аппарат квантованного электрического поля излучения (поле, не взаимодействующее с источником). Потом на втором шаге, была построена математическая теория квантованного электронно-позитронного поля (было осуществлено квантование источников поля). На 3-ем шаге было описано взаимодействие обозначенных полей Математизация науки и ее возможности - реферат в рамках теории возмущений в первом приближении. В конце концов, на заключительном, четвертом шаге был сотворен аппарат, характеризующий взаимодействие квантованных электрического и электронно-позитронного полей с учетом следующих приближений теории возмущений (этот аппарат был связан с способом перенормировок, позволяющим выполнить описание взаимодействующих полей в высших порядках теории возмущений).

В период Математизация науки и ее возможности - реферат, когда уже был пройден 1-ый и 2-ой этапы построения математического формализма теории и начал удачно создаваться аппарат, описывающий взаимодействие свободных квантованных полей способами теории возмущений, в самом фундаменте квантовой электродинамики были обнаружены парадоксы, которые поставили под колебание ценность построенного математического аппарата. Это были так именуемые парадоксы измеримости полей. В работах Математизация науки и ее возможности - реферат П. Иордана, В. А. Фока и в особенности в совместном исследовании Л. Д. Ландау и Р. Пайерлса было показано, что главные величины, которые фигурировали в аппарате новейшей теории, а именно, составляющие электронной и магнитной напряженности в точке, не имеют физического смысла. Поля в точке перестают быть эмпирически оправданными объектами Математизация науки и ее возможности - реферат, как исследователь начинает учесть квантовые эффекты.

Источником парадоксов измеримости была неадекватная интерпретация построенного формализма. Такая интерпретация была неявно введена в самом процессе построения аппарата способом математической догадки.

Математические догадки очень нередко сформировывают сначала неадекватную интерпретацию математического аппарата. Они "тянут за собой" старенькые физические образы, которые "подкладываются Математизация науки и ее возможности - реферат" под новые уравнения, что может привести к рассогласованию теории с опытом. Потому уже на промежных шагах математического синтеза вводимые уравнения должны быть подкреплены анализом теоретических моделей и их конструктивным обоснованием.

Заключение

Сформулируем главные идеи, к которым мы пришли в итоге проделанной работы. Итак, в процессе математизации наук в главном употребляются три способа: математическое Математизация науки и ее возможности - реферат моделирование, формализация и аксиоматизация.

Моделирование представляет собой некое отображение явления беспристрастной действительности в структуры и огромного количества математических объектов. При всем этом должны сохраняться нужные для исследователя дела меж объектами предметной области. Также должно происходить некое упрощение (абстракция): исчезают ненадобные, отвлекающие внимание детали. Но, при всем этом Математизация науки и ее возможности - реферат, модель не должна очень упрощать картину. Умопомрачительная продуктивность математического моделирования в естествознании связана с тем, что родившись с помощью абстаркции от объектов реальной реальности, математические понятия сохранили (может быть неявно) те дела меж этими объектами, которые позже и появляются при их моделировании.

Формализация – процесс “кодировки” объектов изучаемой действительности неким искусственным языком Математизация науки и ее возможности - реферат, и формулировка главных законов исследуемого явления на этом языке. Полезность этого подхода заключается в том, что вначале неясная и смутная картина заменяется серьезными и точными манипуляциями с языком.

Аксиоматизация подразумевает выявление простых понятий и аксиом области исследования, из которых средством логических правил получаются все аксиомы (настоящие утверждения Математизация науки и ее возможности - реферат) данной теории. Этот способ позволяет обхватывать всю изучаемую область при помощи относительно маленького перечня аксиом.

Задачи внедрения математических способов в разных науках связаны с самой арифметикой (математическое исследование моделей), с областью моделирования (трудно выстроить модель из-за размытости границ явления) и c интерпретацией модели (построенная модель некорректно обрисовывает явление).

Способности математизации Математизация науки и ее возможности - реферат ограничиваются вероятнее всего сложностью исследуемых явлений. Потому, как я думаю, если формулировка трудности разумна (другими словами если не пробовать математизировать эстетику, к примеру), то в какой-то момент можно будет применить арифметику для ее решения.

Перечень литературы

[1] Математический энциклопедический словарь. Москва, 1988г.

[2] Арнольд В.И. Зачем мы изучаем Математизация науки и ее возможности - реферат арифметику? Что об этом задумываются сами арифметики? // Квант №1, 1993

[3] Хазанова Л.Э. Математические способы в экономике. М. Изд-во “Бек”, 2002

[4] Гуц А.К. Лекции по семинару “Главные идеи в арифметике” , 2 семестр, 2000 г.

[5] Пуанкаре А. Интуиция и логика в арифметике. ( Пуанкаре А. О науке (под ред. Л.С. Понтрягина Математизация науки и ее возможности - реферат). — М., Наука, 1989, стр. 205-218 )

[6] Вейль Г. Математический метод мышления (под ред. Б.В. Бирюкова и А.Н. Паршина; пер. с англ. Ю.А. Данилова). М.: Наука, 1989. стр. 6-24

[7] Горохов В.Г. Розов М.А. Степин В.С. Философия науки и техники.



material-dlya-naglyadnogo-izobrazheniya-i-osushestvleniya-proektiruemogo-obekta-v-nature.html
material-dlya-podgotovki-k-sochineniyu-153-oge-na-temu-chto-takoe-zhiznennie-cennosti.html
material-dlya-provedeniya-zritelnih-diktantov.html